기하 Geometry~25분

삼각형

Triangles

개념 요약

삼각형의 종류

변의 길이에 따른 분류:

Equilateral triangle (정삼각형): 세 변의 길이가 모두 같고, 세 각이 모두 60°

Isosceles triangle (이등변삼각형): 두 변의 길이가 같고, 같은 변에 대한 밑각도 같음

Scalene triangle (부등변삼각형): 세 변의 길이가 모두 다른 삼각형

각의 크기에 따른 분류:

Acute triangle (예각삼각형): 세 각이 모두 예각 (90°미만)

Right triangle (직각삼각형): 한 각이 정확히 90°

Obtuse triangle (둔각삼각형): 한 각이 둔각 (90° 초과)

삼각형의 넓이

가장 기본적인 넓이 공식: Area = ½ × base × height

여기서 height (높이)는 base (밑변)에 수직으로 내린 선분의 길이입니다.

직각삼각형의 경우, 두 직각변이 밑변과 높이가 되므로:

Area = ½ × (직각변₁) × (직각변₂)

정삼각형의 넓이: 한 변의 길이가 a일 때, Area = (√3/4) × a²

피타고라스 정리 (Pythagorean Theorem)

직각삼각형에서 빗변(hypotenuse) c와 두 직각변(legs) a, b 사이에 다음이 성립합니다:

a² + b² = c²

대표적인 Pythagorean triples (피타고라스 수):

3, 4, 5 (및 배수: 6-8-10, 9-12-15, ...)

5, 12, 13

8, 15, 17

7, 24, 25

특수 직각삼각형 (Special Right Triangles)

30-60-90 삼각형

변의 비 = 1 : √3 : 2 (30° 맞은편 : 60° 맞은편 : 90° 맞은편)

가장 짧은 변(30° 맞은편) = x

중간 변(60° 맞은편) = x√3

빗변(90° 맞은편) = 2x

45-45-90 삼각형 (이등변 직각삼각형)

변의 비 = 1 : 1 : √2 (45° 맞은편 : 45° 맞은편 : 90° 맞은편)

두 직각변 = x

빗변 = x√2

삼각부등식 (Triangle Inequality)

삼각형이 존재하기 위한 필수 조건: 어떤 두 변의 합은 나머지 한 변보다 커야 합니다.

a + b > c, a + c > b, b + c > a

실전에서는 가장 긴 변 < 나머지 두 변의 합만 확인하면 됩니다.

또한 세 번째 변의 범위: |a - b| < c < a + b

닮음 삼각형 (Similar Triangles)

두 삼각형이 similar (닮음)이면:

대응하는 각이 모두 같음 (AA, AAA)

대응하는 변의 비가 일정함

닮음 조건: AA (Angle-Angle) — 두 각이 같으면 자동으로 닮음

닮음비가 k이면:

대응하는 변의 비 = k

넓이의 비 = k²

합동 삼각형 (Congruent Triangles)

두 삼각형이 congruent (합동)이면 모양과 크기가 완전히 같습니다.

합동 조건: SSS, SAS, ASA, AAS

직관적 이해

💡

실생활 비유

삼각형은 건축의 기본 구조예요. 다리, 지붕, 크레인 — 모두 삼각형 구조를 사용하는 이유는 세 변의 길이가 정해지면 모양이 하나로 결정되기 때문입니다(강체성). 사각형은 흔들리지만, 삼각형은 절대 흔들리지 않아요. 이 "확정성"이 수학 문제 풀이에서도 핵심입니다.

🔍

패턴으로 이해하기

30-60-90 삼각형의 변의 비 1:√3:2, 45-45-90 삼각형의 변의 비 1:1:√2 — 이 두 패턴만 외우면 GMAT 삼각형 문제의 절반은 풀립니다. 또한 3:4:5, 5:12:13, 8:15:17은 대표적인 **Pythagorean triple**입니다.

🎯

왜 GMAT에서 중요한가?

GMAT은 직접적으로 "피타고라스 정리를 적용하라"고 말하지 않습니다. 대신 넓이, 높이, 또는 좌표 문제 속에 직각삼각형을 숨겨놓고, 이를 발견해서 적용하도록 만듭니다. 특수 직각삼각형 비율을 즉시 인식하는 것이 시간 절약의 핵심입니다.

핵심 공식

Area = ½ × base × height

정삼각형 넓이 = (√3/4) × a²

Pythagorean theorem: a² + b² = c²

30-60-90 변의 비 = 1 : √3 : 2

45-45-90 변의 비 = 1 : 1 : √2

삼각부등식: |a - b| < c < a + b

닮음비 k → 넓이비 = k²

Pythagorean triples: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17

용어 정리

English	한국어	설명
Right Triangle	직각삼각형	한 각이 정확히 90°인 삼각형
Hypotenuse	빗변	직각삼각형에서 직각의 맞은편에 있는 가장 긴 변
Leg	직각변	직각삼각형에서 직각을 이루는 두 변
Equilateral Triangle	정삼각형	세 변의 길이가 모두 같은 삼각형. 세 각이 모두 60°
Isosceles Triangle	이등변삼각형	두 변의 길이가 같은 삼각형. 같은 변의 밑각도 같음
Scalene Triangle	부등변삼각형	세 변의 길이가 모두 다른 삼각형
Pythagorean Theorem	피타고라스 정리	직각삼각형에서 a² + b² = c² (c는 빗변)
Similar Triangles	닮음 삼각형	대응하는 각이 같고, 대응하는 변의 비가 일정한 두 삼각형
Congruent Triangles	합동 삼각형	대응하는 변과 각이 모두 같은 (모양과 크기가 같은) 두 삼각형
Triangle Inequality	삼각부등식	삼각형의 어떤 두 변의 합은 나머지 한 변보다 커야 함
Altitude (Height)	높이	꼭짓점에서 맞은편 변(밑변)에 내린 수선의 길이
Median	중선	꼭짓점에서 맞은편 변의 중점까지 잇는 선분

자주 하는 실수

❌ 틀린 생각:“30-60-90 삼각형에서 변의 비를 1:2:√3으로 기억”

✅ 올바른 이해:올바른 비는 **1:√3:2** (30° 맞은편 : 60° 맞은편 : 90° 맞은편)입니다. 가장 긴 변(빗변)이 항상 2이고, √3은 중간 변입니다.

💡 GMAT 출제 포인트:30°의 맞은편이 가장 짧은 변(1), 빗변이 가장 긴 변(2)이라는 것만 기억하면 순서를 헷갈리지 않습니다.

❌ 틀린 생각:“삼각형 넓이에서 아무 변이나 밑변으로 사용”

✅ 올바른 이해:넓이 = ½ × base × height에서 **height는 반드시 base에 수직인 높이**여야 합니다. 빗변을 밑변으로 잡으면, 높이는 빗변에 내린 수선의 발까지의 거리입니다.

💡 GMAT 출제 포인트:GMAT은 종종 밑변이 아닌 다른 변의 길이를 주고, 그것을 높이로 쓰게 유도합니다. 항상 "밑변⊥높이"를 확인하세요.

❌ 틀린 생각:“삼각부등식(triangle inequality)을 무시”

✅ 올바른 이해:어떤 삼각형이든 두 변의 합은 나머지 한 변보다 커야 합니다: **a + b > c**. 이 조건 세 가지 (a+b>c, a+c>b, b+c>a)를 모두 만족해야 삼각형이 존재합니다.

💡 GMAT 출제 포인트:Data Sufficiency에서 "삼각형이 존재하는가?"를 묻는 문제에서 이 부등식이 핵심입니다.

❌ 틀린 생각:“닮음(similar)과 합동(congruent) 혼동”

✅ 올바른 이해:**Similar triangles**은 모양이 같고 크기가 다릅니다(대응하는 각이 같고 변의 비가 일정). **Congruent triangles**은 모양과 크기가 모두 같습니다(대응하는 변과 각이 같음).

💡 GMAT 출제 포인트:GMAT에서 닮음 삼각형이 나오면 변의 비 = 변의 비를 세우는 것이 핵심입니다. 넓이의 비는 변의 비의 제곱입니다.

❌ 틀린 생각:“피타고라스 정리를 둔각/예각삼각형에 적용”

✅ 올바른 이해:**Pythagorean theorem (a² + b² = c²)**은 오직 **직각삼각형**에서만 성립합니다. 직각이 아닌 삼각형에서는 사용할 수 없습니다.

💡 GMAT 출제 포인트:문제에서 직각이 명시되어 있는지, 또는 직각을 유추할 수 있는 조건이 있는지 먼저 확인하세요.

예시 문제 (15문제)

0/15정답 0개

문제 1 / 15쉬움

직각삼각형의 두 직각변의 길이가 3과 4입니다. 빗변(hypotenuse)의 길이는?

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