대수 Algebra~20분

부등식

Inequalities

개념 요약

부등식의 기본

Inequality (부등식)는 두 수 또는 식 사이의 대소 관계를 나타냅니다.

< : 미만 (less than)

> : 초과 (greater than)

≤ : 이하 (less than or equal to)

≥ : 이상 (greater than or equal to)

일차부등식 풀기

일차방정식과 거의 같은 방법으로 풀되, 핵심 규칙이 하나 있습니다:

> 양변에 음수를 곱하거나 나누면 부등호 방향이 반대로 바뀐다!

예시: -3x + 6 > 12

→ -3x > 6

→ x < -2 (양변을 -3으로 나누면서 부등호 뒤집기)

양변에 양수를 곱하거나 나눌 때는 부등호 방향이 그대로 유지됩니다.

복합부등식 (Compound Inequalities)

두 개의 부등식이 AND 또는 OR로 연결된 것입니다.

AND (그리고): 두 조건을 모두 만족 → 교집합

-3 < 2x + 1 ≤ 9 → 세 부분에서 동시에 연산

-4 < 2x ≤ 8 → -2 < x ≤ 4

OR (또는): 하나 이상의 조건을 만족 → 합집합

x < -1 또는 x > 5

절대값 부등식 (Absolute Value Inequalities)

|x| < a (a > 0)이면: -a < x < a (원점 중심으로 양쪽 a 이내)

|x| > a (a > 0)이면: x < -a 또는 x > a (원점에서 양쪽 a 바깥)

일반화:

|x - c| < a → c - a < x < c + a (c 중심으로 양쪽 a 이내)

|x - c| > a → x < c - a 또는 x > c + a

예시: |2x - 3| ≤ 7

→ -7 ≤ 2x - 3 ≤ 7

→ -4 ≤ 2x ≤ 10

→ -2 ≤ x ≤ 5

이차부등식 (Quadratic Inequalities)

이차부등식은 다음 순서로 풉니다:

1. 한쪽을 0으로 만든다: ax² + bx + c > 0

2. 좌변을 인수분해한다: (x - p)(x - q) > 0 (p < q)

3. 수직선에서 부호를 판별한다

(x - p)(x - q) > 0 → 두 인수가 동부호 → x < p 또는 x > q

(x - p)(x - q) < 0 → 두 인수가 이부호 → p < x < q

예시: x² - 5x + 6 < 0

→ (x - 2)(x - 3) < 0

→ 2 < x < 3

부등식의 중요 성질

a > b이고 c > d이면 → a + c > b + d (부등식의 덧셈)

a > b > 0이고 c > d > 0이면 → ac > bd (양수끼리의 곱셈)

a > b > 0이면 → 1/a < 1/b (역수를 취하면 부등호 뒤집힘)

0 < a < 1이면 → a² < a (0과 1 사이 수의 제곱은 원래보다 작다)

직관적 이해

💡

실생활 비유

부등식은 저울이 한쪽으로 기울어진 상태예요. 등식(=)이 "정확히 같다"라면, 부등식(<, >, ≤, ≥)은 "이쪽이 더 크다/작다"를 표현합니다. 핵심은 **음수를 곱하면 저울이 뒤집힌다**는 거예요. 무거운 쪽에 -1을 곱하면 가벼워지고, 가벼운 쪽이 무거워지죠!

🔍

패턴으로 이해하기

부등호 방향이 바뀌는 경우는 딱 하나: 양변에 음수를 곱하거나 나눌 때. ax > b에서 a > 0이면 x > b/a, a < 0이면 x < b/a. 절대값 부등식은 |x| < a → -a < x < a, |x| > a → x < -a 또는 x > a로 풀립니다.

🎯

왜 GMAT에서 중요한가?

GMAT에서 부등식은 **Data Sufficiency**의 핵심 소재입니다. "x > 0인가?", "xy > 0인가?" 같은 질문에서 부등호 방향 판단이 당락을 결정합니다. 특히 변수의 부호를 모를 때 양변에 변수를 곱해도 되는지 판단하는 능력이 중요해요.

핵심 공식

음수를 곱/나누면 부등호 방향 반전

|x| < a → -a < x < a (a > 0)

|x| > a → x < -a 또는 x > a (a > 0)

|x - c| < a → c - a < x < c + a

(x-p)(x-q) > 0 → x < p 또는 x > q (p < q)

(x-p)(x-q) < 0 → p < x < q (p < q)

a > b > 0 → 1/a < 1/b

0 < a < 1 → a² < a < √a

용어 정리

English	한국어	설명
Inequality	부등식	두 수 또는 식 사이의 대소 관계를 나타내는 식. 예: 2x + 1 > 5
Less than / Greater than	미만 / 초과	<는 미만(포함X), >는 초과(포함X). ≤이하, ≥이상은 등호 포함
Compound Inequality	복합부등식	두 부등식이 AND 또는 OR로 연결된 것. 예: -2 < x ≤ 5
Absolute Value Inequality	절대값 부등식	절대값 기호를 포함한 부등식. 예: \|x - 3\| < 5
Quadratic Inequality	이차부등식	최고차항이 2차인 부등식. 예: x² - 4x + 3 > 0
Number Line	수직선	수를 직선 위의 점으로 나타낸 것. 부등식의 해를 시각적으로 표현할 때 사용
Interval	구간	수직선 위의 연속된 범위. 개구간 (a,b), 폐구간 [a,b], 반개구간 [a,b) 등
Sign (Positive/Negative)	부호 (양/음)	수가 0보다 큰지(양수), 작은지(음수)를 나타내는 성질
Reciprocal	역수	어떤 수에 곱하면 1이 되는 수. a의 역수는 1/a (a ≠ 0)
Intersection / Union	교집합 / 합집합	AND 조건의 공통 범위(교집합), OR 조건의 전체 범위(합집합)
Solution Set	해집합	부등식을 만족하는 모든 값의 모임. 예: {x \| x > 3}
Flip the Sign	부등호 뒤집기	양변에 음수를 곱하거나 나눌 때 부등호 방향을 반대로 바꾸는 것

자주 하는 실수

❌ 틀린 생각:“양변에 음수를 곱할 때 부등호 방향을 그대로 둔다”

✅ 올바른 이해:-2x > 6에서 양변을 -2로 나누면 부등호가 뒤집혀서 x < -3이 됩니다.

💡 GMAT 출제 포인트:음수로 곱하거나 나눌 때 부등호 방향 반전! 이것은 GMAT이 가장 좋아하는 함정입니다.

❌ 틀린 생각:“변수의 부호를 모르는데 양변에 변수를 곱한다”

✅ 올바른 이해:x/y > 1에서 양변에 y를 곱하면, y > 0이면 x > y이지만, y < 0이면 x < y입니다. 부호를 모르면 곱하면 안 됩니다.

💡 GMAT 출제 포인트:DS 문제에서 "xy > 0"이면 x, y 동부호, "xy < 0"이면 이부호입니다. 부호 정보 없이 변수를 곱하지 마세요.

❌ 틀린 생각:“|x| < 3을 x < 3으로만 푼다”

✅ 올바른 이해:|x| < 3은 -3 < x < 3입니다. 절대값 안이 음수일 수도 있으므로 양쪽 범위를 모두 고려해야 합니다.

💡 GMAT 출제 포인트:|x - a| < b → a - b < x < a + b, |x - a| > b → x < a - b 또는 x > a + b. 이 공식을 외워두세요.

❌ 틀린 생각:“이차부등식에서 부등호 방향을 무시하고 등호처럼 인수분해만 한다”

✅ 올바른 이해:x² - 5x + 6 > 0 → (x-2)(x-3) > 0 → 두 인수가 동부호 → x < 2 또는 x > 3. 수직선에 영역을 그려서 확인하세요.

💡 GMAT 출제 포인트:이차부등식은 먼저 인수분해 → 근을 구하고 → 수직선에서 부호를 판별하세요. 등호(=)를 만족하는 점이 포함되는지도 확인!

❌ 틀린 생각:“복합부등식(compound inequality)에서 각 부분을 따로 푼다”

✅ 올바른 이해:-3 < 2x + 1 < 9에서 세 부분 모두에서 동시에 1을 빼고 2로 나눕니다: -4 < 2x < 8 → -2 < x < 4.

💡 GMAT 출제 포인트:복합부등식은 한 줄로 쭉 이어서 풀 수 있어요. 세 부분 모두에 같은 연산을 동시에 적용하세요.

예시 문제 (15문제)

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문제 1 / 15쉬움

2x - 5 > 9를 만족하는 x의 범위는?

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