소수와 약수/배수
Prime Numbers & Divisibility
개념 요약
소수와 합성수
Prime Number (소수)란 1보다 큰 자연수 중에서 1과 자기 자신만을 약수로 가지는 수입니다. 가장 작은 소수는 2이며, 2는 유일한 짝수 소수입니다. 대표적인 소수로는 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 등이 있습니다.
Composite Number (합성수)란 1보다 큰 자연수 중에서 소수가 아닌 수, 즉 1과 자기 자신 외에 다른 약수를 가지는 수입니다. 예를 들어 4, 6, 8, 9, 10, 12 등이 합성수입니다.
중요: 1은 소수도 아니고 합성수도 아닌 특별한 수입니다. GMAT에서 이 점을 묻는 문제가 자주 출제됩니다.
약수와 배수
Factor (약수) 또는 Divisor (약수)란 어떤 수를 나누어떨어지게 하는 수입니다. 예를 들어 12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12입니다. 약수를 체계적으로 찾으려면 1부터 시작하여 쌍을 이루는 약수를 찾습니다: 1×12, 2×6, 3×4.
Multiple (배수)란 어떤 수에 자연수를 곱한 결과입니다. 예를 들어 5의 배수는 5, 10, 15, 20, 25, ... 입니다.
최대공약수와 최소공배수
Greatest Common Factor (GCF, 최대공약수)는 두 개 이상의 수의 공통 약수 중 가장 큰 수입니다. Euclidean Algorithm (유클리드 호제법)을 사용하면 빠르게 구할 수 있습니다: 큰 수를 작은 수로 나눈 나머지를 구하고, 작은 수를 그 나머지로 다시 나누는 과정을 나머지가 0이 될 때까지 반복합니다. 마지막으로 나눈 수가 GCF입니다.
예시: GCF(48, 18) → 48 = 18×2 + 12 → 18 = 12×1 + 6 → 12 = 6×2 + 0 → GCF = 6
Least Common Multiple (LCM, 최소공배수)는 두 개 이상의 수의 공통 배수 중 가장 작은 수입니다.
핵심 공식: GCF(a, b) × LCM(a, b) = a × b
이 공식을 이용하면 GCF를 알 때 LCM을 쉽게 구할 수 있고, 그 반대도 가능합니다.
배수 판별법 (Divisibility Rules)
소인수분해와 약수의 개수
Prime Factorization (소인수분해)란 합성수를 소수의 곱으로 나타내는 것입니다. 예를 들어 360 = 2³ × 3² × 5¹ 입니다.
약수의 개수를 구하는 공식: n = p₁^a₁ × p₂^a₂ × ... × pₖ^aₖ 일 때, 약수의 개수 = (a₁+1)(a₂+1)...(aₖ+1) 입니다.
예시: 360 = 2³ × 3² × 5¹ → 약수의 개수 = (3+1)(2+1)(1+1) = 4 × 3 × 2 = 24개
직관적 이해
실생활 비유
소수는 레고의 '기본 블록'이에요. 4=2×2, 6=2×3처럼 모든 정수는 소수들의 곱으로 분해되지만, 소수 자체는 더 이상 쪼갤 수 없어요. 마치 원소 주기율표의 원소처럼, 소수는 수학의 '원소'입니다.
패턴으로 이해하기
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31... 직접 써보면 간격이 일정하지 않다는 걸 느낄 수 있어요. 2와 3 사이는 1, 3과 5 사이는 2, 7과 11 사이는 4 — 규칙이 없는 게 특징이에요. 하지만 2를 제외하면 모두 홀수라는 건 확실하죠!
왜 GMAT에서 중요한가?
GMAT 문제의 30% 이상이 소수 성질을 '숨겨서' 출제합니다. 특히 Data Sufficiency에서 '1은 소수인가', '짝수인 소수가 있는가' 같은 경계값 함정이 빈출됩니다.
핵심 공식
용어 정리
| English | 한국어 |
|---|---|
| Prime Number | 소수 |
| Composite Number | 합성수 |
| Factor / Divisor | 약수 |
| Multiple | 배수 |
| Greatest Common Factor (GCF) | 최대공약수 |
| Least Common Multiple (LCM) | 최소공배수 |
| Prime Factorization | 소인수분해 |
| Divisibility | 나눗셈 가능성 (배수 관계) |
| Even Number | 짝수 |
| Odd Number | 홀수 |
| Remainder | 나머지 |
| Quotient | 몫 |
자주 하는 실수
❌ 틀린 생각:“1은 소수다”
✅ 올바른 이해:1은 소수가 아닙니다. 소수의 정의는 "약수가 정확히 2개인 수(1과 자기 자신)" — 1의 약수는 1 하나뿐입니다.
💡 GMAT 출제 포인트:GMAT은 1을 소수처럼 보이게 하는 함정 선지를 자주 사용합니다. "양의 정수 n이 소수일 때..."라는 조건에서 n=1을 대입하지 마세요.
❌ 틀린 생각:“2는 짝수니까 소수가 아니다”
✅ 올바른 이해:2는 유일한 짝수 소수입니다. 약수가 1과 2뿐이므로 소수의 정의를 완벽하게 만족합니다.
💡 GMAT 출제 포인트:"짝수인 소수가 존재하는가?" 유형으로 출제됩니다. 특히 DS 문제에서 "n은 짝수" + "n은 소수" → n=2로 유일하게 결정됩니다.
❌ 틀린 생각:“음수도 소수가 될 수 있다”
✅ 올바른 이해:소수는 1보다 큰 양의 정수에서만 정의됩니다. -7은 소수가 아닙니다.
💡 GMAT 출제 포인트:GMAT은 항상 양의 정수 범위에서 소수를 다루지만, "정수 n"이라는 조건에서 음수 가능성을 함정으로 활용합니다.
❌ 틀린 생각:“0은 짝수가 아니다”
✅ 올바른 이해:0은 짝수입니다. 0 = 2×0이므로 2로 나누면 나머지가 0입니다.
💡 GMAT 출제 포인트:GMAT은 0, 1, 음수를 경계값으로 자주 활용합니다. "양의 짝수"와 "짝수"는 다르다는 점을 항상 확인하세요.
❌ 틀린 생각:“두 소수의 곱은 항상 홀수다”
✅ 올바른 이해:2 × 3 = 6, 2 × 5 = 10 — 소수 2가 포함되면 곱이 짝수가 됩니다.
💡 GMAT 출제 포인트:"두 서로 다른 소수의 곱이 짝수가 될 수 있는가?" 같은 문제에서 2의 존재를 잊지 마세요.
예시 문제 (15문제)
다음 중 소수(prime number)는 몇 개입니까? 1, 2, 9, 11, 15, 21, 23, 27, 31, 35