기하 Geometry~15분

선과 각도

Lines & Angles

개념 요약

각도의 종류

Angle (각도)은 두 ray (반직선)이 같은 꼭짓점에서 만들 때 이루는 벌어진 정도를 말합니다. 각도의 종류는 다음과 같습니다:

Acute angle (예각): 0°보다 크고 90°보다 작은 각 (0° < θ < 90°)

Right angle (직각): 정확히 90°인 각. 기호 □로 표시합니다

Obtuse angle (둔각): 90°보다 크고 180°보다 작은 각 (90° < θ < 180°)

Straight angle (평각): 정확히 180°인 각. 일직선을 이룹니다

Reflex angle (우각): 180°보다 크고 360°보다 작은 각 (180° < θ < 360°)

보각과 여각

Complementary angles (여각): 두 각의 합이 90°인 경우. 예: 30°와 60°

Supplementary angles (보각): 두 각의 합이 180°인 경우. 예: 120°와 60°

한 직선 위에 있는 각의 합은 항상 180° (angles on a straight line)이므로, 직선 위의 인접한 두 각은 항상 supplementary입니다.

맞꼭지각 (Vertical Angles)

두 직선이 한 점에서 교차하면 4개의 각이 생깁니다. 이때 서로 마주보는 한 쌍의 각을 vertical angles (맞꼭지각)이라 하며, 맞꼭지각은 항상 크기가 같습니다.

예: 두 직선이 교차하여 생긴 각 중 하나가 70°이면, 마주보는 각도 70°이고, 나머지 두 각은 각각 110°입니다.

평행선과 횡단선 (Parallel Lines & Transversal)

두 parallel lines (평행선)을 하나의 transversal (횡단선)이 지나면, 총 8개의 각이 만들어집니다. 이 각들 사이에는 다음의 관계가 성립합니다:

Corresponding Angles (동위각)

횡단선의 같은 쪽, 평행선의 같은 위치에 있는 각들입니다. 평행선이면 동위각은 서로 같습니다.

Alternate Interior Angles (엇각)

횡단선의 양쪽, 두 평행선 사이에 엇갈려 있는 각들입니다. 평행선이면 엇각은 서로 같습니다.

Co-interior Angles (동측내각)

횡단선의 같은 쪽, 두 평행선 사이에 있는 각들입니다. 평행선이면 동측내각의 합은 180°입니다. Same-side interior angles라고도 합니다.

삼각형의 내각의 합

삼각형의 세 내각의 합은 항상 180°입니다. 이것은 평행선의 엇각 성질에서 증명할 수 있습니다.

응용: 삼각형의 두 각을 알면 나머지 한 각은 180°에서 빼면 됩니다.

삼각형의 외각 정리 (Exterior Angle Theorem)

삼각형의 한 변을 연장해서 생기는 exterior angle (외각)은, 이웃하지 않는 두 내각 (remote interior angles)의 합과 같습니다.

즉, 외각 = 내각₁ + 내각₂ (이웃하지 않는 두 내각)

이 성질은 GMAT에서 자주 출제되므로 반드시 기억하세요.

직관적 이해

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실생활 비유

각도는 시계 바늘의 움직임과 같아요. 12시에서 3시 방향으로 움직이면 90°(**right angle**), 6시 방향이면 180°(**straight angle**), 한 바퀴를 다 돌면 360°(**full rotation**)입니다. 평행선에 사선이 지나가는 것은 마치 고속도로 위의 횡단보도처럼 — 같은 패턴의 각도가 반복됩니다.

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패턴으로 이해하기

두 직선이 만나면 항상 맞꼭지각이 같고, 평행선을 횡단선이 지나면 8개의 각이 만들어지는데 실제로는 2가지 크기뿐입니다: α와 (180° - α). 삼각형 내각의 합 180°도 이 성질에서 유도됩니다.

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왜 GMAT에서 중요한가?

GMAT은 직접 "각도를 구하라"고 묻기보다, 평행선 조건을 숨기고 **alternate interior angle**이나 **corresponding angle** 성질을 활용해야 풀리는 문제를 출제합니다. 기본 성질을 확실히 알면 2~3단계 추론이 빨라집니다.

핵심 공식

Complementary angles: ∠A + ∠B = 90°

Supplementary angles: ∠A + ∠B = 180°

Vertical angles: ∠A = ∠C (마주보는 각)

평행선 → Corresponding angles 같다

평행선 → Alternate interior angles 같다

평행선 → Co-interior angles 합 = 180°

삼각형 내각의 합 = 180°

외각 = 이웃하지 않는 두 내각의 합

용어 정리

English	한국어	설명
Acute Angle	예각	0°보다 크고 90°보다 작은 각
Right Angle	직각	정확히 90°인 각. 기호 □로 표시
Obtuse Angle	둔각	90°보다 크고 180°보다 작은 각
Straight Angle	평각	정확히 180°인 각. 일직선을 이룸
Complementary Angles	여각	합이 90°인 두 각의 쌍
Supplementary Angles	보각	합이 180°인 두 각의 쌍
Vertical Angles	맞꼭지각	두 직선이 교차할 때 마주보는 각. 항상 크기가 같음
Parallel Lines	평행선	같은 평면 위에서 만나지 않는 두 직선
Transversal	횡단선	두 개 이상의 직선과 만나는 직선
Corresponding Angles	동위각	횡단선의 같은 쪽, 평행선의 같은 위치에 있는 각
Alternate Interior Angles	엇각	횡단선의 양쪽, 두 평행선 사이에 엇갈려 있는 각
Exterior Angle	외각	다각형의 한 변을 연장해서 생기는 각

자주 하는 실수

❌ 틀린 생각:“보각(supplementary)을 90°로 합산하는 것”

✅ 올바른 이해:**Complementary angles**의 합이 90°이고, **supplementary angles**의 합이 180°입니다. "C"omplementary = "C"orner(90°), "S"upplementary = "S"traight(180°)로 기억하세요.

💡 GMAT 출제 포인트:GMAT은 두 각이 "supplementary"라고 할 때 합이 180°인지, "complementary"라고 할 때 합이 90°인지 혼동하게 만드는 문제를 출제합니다.

❌ 틀린 생각:“맞꼭지각(vertical angles)을 인접한 각으로 혼동”

✅ 올바른 이해:**Vertical angles**은 두 직선이 교차할 때 서로 마주보는 각으로, 항상 같습니다. 인접한 각끼리는 **supplementary** (합이 180°)입니다.

💡 GMAT 출제 포인트:그림에서 어떤 각이 맞꼭지각인지 정확히 파악하세요. X자 형태에서 마주보는 위치가 맞꼭지각입니다.

❌ 틀린 생각:“엇각(alternate interior angles)과 동위각(corresponding angles) 혼동”

✅ 올바른 이해:**Alternate interior angles**은 횡단선의 양쪽, 평행선 사이에 있는 엇갈린 각입니다. **Corresponding angles**은 같은 위치에 있는 각입니다. 둘 다 평행선일 때 같지만, 위치가 다릅니다.

💡 GMAT 출제 포인트:문제에서 "평행"이라는 조건이 주어졌는지 반드시 확인하세요. 평행하지 않으면 엇각이나 동위각이 같다고 할 수 없습니다.

❌ 틀린 생각:“외각(exterior angle)의 성질을 잘못 적용”

✅ 올바른 이해:삼각형의 한 **exterior angle**은 이웃하지 않는 두 내각(**remote interior angles**)의 합과 같습니다. 인접한 내각과 합하면 180°입니다.

💡 GMAT 출제 포인트:GMAT에서 삼각형의 외각 문제가 나오면, 외각 = 나머지 두 내각의 합이라는 공식을 바로 적용하세요.

예시 문제 (15문제)

0/15정답 0개

문제 1 / 15쉬움

한 각의 크기가 35°일 때, 이 각의 **complementary angle (여각)**의 크기는?

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