대수 Algebra~20분

일차방정식

Linear Equations

개념 요약

일차방정식의 기본

Linear Equation (일차방정식)이란 미지수의 최고차항이 1차인 방정식입니다. 가장 기본적인 형태는 ax + b = c (a ≠ 0)입니다.

풀이 순서:

1. 괄호가 있으면 전개한다

2. 미지수 항을 한쪽으로, 상수를 다른 쪽으로 이항한다

3. 동류항을 정리한다

4. 미지수의 계수로 양변을 나눈다

예시: 3(2x - 4) + 5 = 2x + 9

→ 6x - 12 + 5 = 2x + 9

→ 6x - 7 = 2x + 9

→ 4x = 16

→ x = 4

연립일차방정식 (Systems of Linear Equations)

미지수가 2개인 System of Equations (연립방정식)은 두 개의 일차방정식으로 이루어집니다.

대입법 (Substitution)

한 방정식에서 하나의 미지수를 다른 미지수로 표현한 뒤, 나머지 방정식에 대입합니다.

예시: x + y = 10, 2x - y = 5

→ 첫째 식에서 y = 10 - x

→ 둘째 식에 대입: 2x - (10 - x) = 5 → 3x - 10 = 5 → 3x = 15 → x = 5

→ y = 10 - 5 = 5

소거법 (Elimination)

두 방정식을 더하거나 빼서 하나의 미지수를 없앱니다.

예시: 3x + 2y = 12, x - 2y = 4

→ 두 식을 더하면: 4x = 16 → x = 4

→ x = 4를 첫째 식에 대입: 12 + 2y = 12 → y = 0

해의 개수

연립방정식 a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂에서:

유일한 해 (하나의 교점): a₁/a₂ ≠ b₁/b₂

해 없음 (평행선): a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂

무한히 많은 해 (같은 직선): a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂

이 판별법은 GMAT Data Sufficiency에서 매우 중요합니다!

Word Problem → 방정식

GMAT에서 가장 자주 출제되는 유형은 문장을 방정식으로 바꾸는 것입니다.

핵심 영어 표현:

"is" / "equals" → =

"more than" → + (예: 5 more than x → x + 5)

"less than" → - (예: 3 less than y → y - 3)

"times" / "of" → × (예: twice x → 2x)

"sum" → + , "difference" → -

"consecutive integers" → x, x+1, x+2, ...

예시: "두 수의 합이 50이고, 큰 수가 작은 수의 3배보다 2 작다면, 작은 수는?"

→ x + y = 50, y = 3x - 2

→ x + (3x - 2) = 50 → 4x = 52 → x = 13

분수와 소수가 포함된 방정식

분수가 있으면 양변에 LCD (Least Common Denominator)를 곱하여 정수 계수로 만듭니다.

예시: x/3 + x/4 = 7

→ LCD = 12를 양변에 곱: 4x + 3x = 84 → 7x = 84 → x = 12

직관적 이해

💡

실생활 비유

일차방정식은 저울에 비유할 수 있어요. 양쪽 접시에 같은 무게가 놓여 있으면 균형이 맞죠? 양쪽에 같은 것을 더하거나 빼도 균형은 유지됩니다. **Equation**을 풀 때도 마찬가지로 양변에 동일한 연산을 적용하면서 미지수를 한쪽으로 모으는 거예요.

🔍

패턴으로 이해하기

ax + b = c 형태에서 x = (c - b) / a. 항상 상수를 먼저 이항하고, 계수로 나누세요. 연립방정식에서는 계수를 맞춰서 빼거나(elimination), 한 식을 다른 식에 대입(substitution)하는 두 가지 패턴이 반복됩니다.

🎯

왜 GMAT에서 중요한가?

GMAT QR의 가장 기본적인 문제 유형입니다. 직접 풀기도 하지만, **Word Problem**을 방정식으로 변환하는 능력이 핵심이에요. 특히 "해가 없다 / 무한히 많다" 같은 특수한 경우를 Data Sufficiency에서 자주 출제합니다.

핵심 공식

ax + b = c → x = (c - b) / a

연립방정식 대입법: 한 식에서 y = f(x) 구한 뒤 다른 식에 대입

연립방정식 소거법: 계수 맞추고 두 식을 더하거나 빼기

유일한 해: a₁/a₂ ≠ b₁/b₂

해 없음 (평행): a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂

무한히 많은 해: a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂

연속 정수: x, x+1, x+2, ...

연속 짝수/홀수: x, x+2, x+4, ...

용어 정리

English	한국어	설명
Linear Equation	일차방정식	미지수의 최고 차수가 1인 방정식. 예: 2x + 3 = 7
Variable	변수 (미지수)	값이 정해지지 않아 구해야 하는 문자. 주로 x, y, z 등을 사용
Coefficient	계수	변수 앞에 곱해진 수. 예: 3x에서 3이 계수
Constant	상수	변하지 않는 고정된 수. 예: 2x + 5에서 5가 상수
System of Equations	연립방정식	두 개 이상의 방정식을 동시에 만족하는 해를 구하는 문제
Substitution	대입법	한 방정식에서 구한 미지수 표현을 다른 방정식에 넣는 풀이법
Elimination	소거법	두 방정식을 더하거나 빼서 하나의 미지수를 없애는 풀이법
Solution	해	방정식을 참으로 만드는 미지수의 값
Transposition	이항	등호를 기준으로 항을 반대편으로 옮기면서 부호를 바꾸는 것
Consecutive Integers	연속하는 정수	차이가 1씩 나는 정수들. 예: 7, 8, 9 또는 x, x+1, x+2
Parallel Lines	평행선	기울기가 같고 y절편이 다른 두 직선. 교점이 없으므로 연립방정식의 해가 없음
LCD (Least Common Denominator)	최소공통분모	여러 분수의 분모들의 최소공배수. 분수 방정식을 정수로 바꿀 때 사용

자주 하는 실수

❌ 틀린 생각:“이항할 때 부호를 바꾸지 않는다”

✅ 올바른 이해:3x + 5 = 20에서 5를 이항하면 3x = 20 - 5 = 15입니다. 이항하면 부호가 반드시 바뀝니다.

💡 GMAT 출제 포인트:GMAT은 계산 실수를 유도하기 위해 선지에 부호 실수를 한 답을 포함합니다. 이항 후 반드시 부호를 확인하세요.

❌ 틀린 생각:“양변을 변수로 나눌 때 그 변수가 0일 수 있다는 점을 무시한다”

✅ 올바른 이해:x(x - 3) = 0에서 양변을 x로 나누면 x = 0인 해를 잃어버립니다. 나누기 전에 나누는 수가 0이 아닌지 반드시 확인해야 합니다.

💡 GMAT 출제 포인트:DS 문제에서 "x ≠ 0"이라는 조건이 주어졌는지 항상 확인하세요. 조건 없이 나누면 해를 놓칩니다.

❌ 틀린 생각:“연립방정식에서 식 두 개가 있으면 항상 유일한 해가 있다고 생각한다”

✅ 올바른 이해:두 식이 사실 같은 식(예: x + y = 3과 2x + 2y = 6)이면 해가 무한히 많고, 모순(예: x + y = 3과 x + y = 5)이면 해가 없습니다.

💡 GMAT 출제 포인트:DS 문제에서 두 조건이 주어져도 독립적인지 확인해야 합니다. 한쪽이 다른 쪽의 배수이면 사실상 하나의 조건과 같습니다.

❌ 틀린 생각:“Word problem에서 영어 표현을 잘못 수식화한다”

✅ 올바른 이해:"5 more than 3 times x"는 3x + 5이지 3(x + 5)가 아닙니다. "more than"은 앞의 수에 더하는 것입니다.

💡 GMAT 출제 포인트:영어 문장 → 수식 변환 시 "more than", "less than"의 순서에 주의하세요. "A less than B"는 B - A입니다.

❌ 틀린 생각:“분수가 있는 방정식에서 통분을 생략한다”

✅ 올바른 이해:x/2 + x/3 = 10을 풀 때, 양변에 최소공배수 6을 곱하면 3x + 2x = 60 → 5x = 60 → x = 12. 통분하면 분수가 사라져서 훨씬 쉬워집니다.

💡 GMAT 출제 포인트:분수가 보이면 먼저 양변에 LCD(최소공배수)를 곱해서 정수 식으로 바꾸세요. 계산 속도와 정확도가 모두 올라갑니다.

예시 문제 (15문제)

0/15정답 0개

문제 1 / 15쉬움

3x - 7 = 14일 때, x의 값은?

← 절댓값 부등식 →